Relation entre les quaternions et les rotations
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Relation entre les quaternions et les rotations
On considère
- un quaternion \(q=(s,w)\) de norme unitaire \(\|q\|=1\).
- un vecteur \(v=(v_x,v_y,v_z)\) assimilé à un quaternion pure \(q_v=(v,0)=(v_x,v_y,v_z,0)\).
On a la propriété suivante
- \(q_{v'}=\mathcal{R}_q(v)=q\,q_v\,q^{\star}\) est un quaternion pure \(q_{v'}=(v_x',v_y',v_z',0)\)
- Et \(v'=(v_x',v_y',v_z')\) est la rotation du vecteur \(v\) autour de l'axe \(n=s/\|s\|\), avec l'angle \(2\; acos(w)\).
Demonstration
\(\mathcal{R}_q(v)=(s,w)\;(v,0)\;(-s,w)= \; ... \; =((w ^ 2-s ^ 2)\, v + 2 (s \cdot v)\,s + 2 w\,(s\times v),0)\)
Comme \(\|q\|=1\), on peut écrire \(q=(s,w)=(n\sin(\phi),\cos(\phi))\), where \(\|n\|=1\)
Alors \(\displaystyle \mathcal{R}_q(v) = (\underbrace{(\cos ^ 2(\phi)-\sin ^ 2(\phi))}_{\cos(2\phi)}\,v + \underbrace{2 \sin ^ 2 (\phi)}_{1-\cos (2 \phi)} (n \cdot v)\,n + \underbrace{2\, \cos(\phi) \sin(\phi)}_{\sin(2\phi)}\;n\times v\,,\;0)\)
\(\Rightarrow\) formule de Rodrigues pour l'axe \(n\) et l'angle \(2 \phi\).
Le quaternion unitaire \(q=(n\,\sin(\theta/2),\cos(\theta/2))\) représente la rotation d'angle \(\theta\) autour de l'axe \(n\).